Neutrosophic Computing and Machine Learning, Vol. 25, 2023
Florentin Smarandache. Aplicaciones prácticas de IndetermSoft Set e IndetermHyperSoft Set e Introducción a
TreeSoft Set como una extensión del MultiSoft Set
University of New Mexico
Aplicaciones prácticas de IndetermSoft Set e
IndetermHyperSoft Set e Introducción a TreeSoft Set
como una extensión del MultiSoft Set
Practical applications of IndetermSoft Set and
IndetermHyperSoft Set and Introduction to TreeSoft Set
as an extension to MultiSoft Set
Florentin Smarandache
1
1
Departamento de Matemáticas, Universidad de Nuevo México, 705 Gurley Ave., Gallup, NM 87301, EE. UU
E-mail: smarand@unm.edu
Resumen. El IndetermSoft Set es como una especie de extensión del Soft Set, porque los datos, o la función, o los conjuntos
involucrados en la definición del Soft Set tienen indeterminación, como en nuestra vida cotidiana, y todavía necesitamos lidiar
con tales situaciones. Del mismo modo, el IndetermHyperSoft Set es una extensión del HyperSoft Set, cuando hay datos inde-
terminados, o funciones indeterminadas, o conjuntos indeterminados. Aquí, 'Indeterm' significa 'Indeterminado' (resultado in-
cierto, conflictivo, incompleto, no único). Ahora se presenta por primera vez el TreeSoft Set como extensión del MultiSoft Set.
Se presentan varias aplicaciones para cada tipo de Soft Set.
Palabras clave: Soft Set, IndetermSoft Set, HyperSoft Set, IndetermHyperSoft Set, MultiSoft Set, TreeSoft Set.
Abstract. The IndetermSoft Set is kind of an extension of the Soft Set, because the data, or the function, or the sets involved in
the Soft Set definition have indeterminacy, as in our daily life, and we still need to deal with such situations. Similarly, the
IndetermHyperSoft Set is an extension of the HyperSoft Set, when there are indeterminate data, or indeterminate functions, or
indeterminate sets. Here, 'Indeterm' means 'Indetermi-nate' (uncertain, conflicting, incomplete, non-unique result). The TreeSoft
Set is now presented for the first time as an extension of the MultiSoft Set. Several applications are presented for each type of
Soft Set.
Keywords: Soft Set, IndetermSoft Set, HyperSoft Set, IndetermHyperSoft Set, MultiSoft Set, TreeSoft Set.
1 Introducción
Se ha extendido el Soft Set a HyperSoft Set [2, 3] en 2018, luego ambos a IndetermSoft Set e IndetermHype-
rSoft Set [4, 8] respectivamente en 2022, y se han introducido los operadores Indeterminate Soft e HyperSoft.
Las operaciones (complemento, intersección, unión) para IndetermSoft Set e IndetermHyperSoft Set respecti-
vamente se realizarán en futuras investigaciones.
Y en este documento, se presenta por primera vez un nuevo tipo de Soft Set, llamado TreeSoft Set, como una
extensión del MultiSoft Set.
Se presentan varias aplicaciones para cada tipo de Soft Set.
2 Definición de Soft Set
Sea U un universo de discurso, H un subconjunto no vacío de U, con P() el conjunto de potencias de , y a
un atributo (parámetro, factor, etc.) con su conjunto de valores de atributo denotado por A. Entonces, el par (F, A)
con : .), con su conjunto de valores de atributo denotado por A. Entonces, el par (F, A), con : → (), se
denomina Soft Set (Clásico) sobre .
Molodtsov [1] definió el Soft Set en 1999.
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TreeSoft Set como una extensión del MultiSoft Set
2
3 Ejemplo real de Soft Set (clásico)
Sea H = {h1, h2, h3, h4} un conjunto de casas, y a un atributo, a = color, y su conjunto de valores de atributo
A = {blanco, verde, rojo}. La función F: A (H), como:
F(blanco) = {h1, h2, h4}, F(verde) = h3, F(rojo) = (sin casa).
4 Definición de IndetermSoft Set
Smarandache [4, 8] lo introdujo en 2022.
Sea un universo del discurso, H un subconjunto no vacío de , y P() el conjunto de potencias de
. Sea a sea un atributo, y un conjunto de valores de este atributo. Entonces : → () se llama Conjunto
IndetermSoft si:
i) el conjunto A tiene alguna indeterminación;
ii) o el conjunto P(H) tiene alguna indeterminación;
iii) o existe al menos un atributo-valor v∈A, tal que F(v) = indeterminado (poco claro, incompleto, conflictivo
o no único);
iv) o dos o las tres situaciones anteriores.
El IndetermSoft Set tiene cierto grado de indeterminación, y como tal es un caso particular de la NeutroFunción
[5, 6], definida en 2014 - 2015, que es una función que sólo está parcialmente bien definida (definida interiormente),
parcialmente indeterminada y parcialmente definida exteriormente. La Neutrofunción es una generalización de la
función clásica, que está totalmente bien definida.
El IndetermSoft Set, como extensión del Soft Set clásico (determinado), trata con datos indeterminados, porque
hay fuentes [4, 8] incapaces de proporcionar información exacta o completa sobre los conjuntos A, H o P(H), y la
función F.
No se ha añadido ninguna indeterminación. La indeterminación es propia de nuestro mundo real. Porque mu-
chas fuentes dan información aproximada/incierta/incompleta/conflictiva, no información exacta como en el Soft
Set, por lo que todavía tenemos que lidiar con estas situaciones.
Para más información sobre el IndetermSoft Set, consulte [4, 8].
5 Ejemplo real de IndetermSoft Set:
Supongamos que una ciudad tiene muchas casas.
1) Indeterminación con respecto a la función.
1a) Si se le pregunta a una fuente:
- ¿Qué casas tienen el color rojo en la ciudad?
La fuente:
- No estoy seguro, creo que las casas h1 o h2.
Por lo tanto, F(rojo) = h1 o h2 (respuesta indeterminada / incierta).
1b) Vuelve a preguntar:
- Pero ¿qué casas son amarillas?
La fuente:
- No lo sé, lo único que sé es que la casa h5 no es amarilla porque la he visitado.
Por lo tanto, F(amarillo) = no h5 (de nuevo respuesta indeterminada / incierta).
1c) Otra pregunta que se puede hacer:
- Entonces, ¿qué casas son azules?
La fuente:
- Con certeza, h8 o h9
Por lo tanto, F(azul) = h8 o h9
(de nuevo respuesta indeterminada / incierta).
2) Indeterminación con respecto al conjunto H de casas.
Pregunta a la fuente:
- ¿Cuántas casas hay en la ciudad?
La fuente:
- Nunca las he contado, pero estimo que su número oscila entre 100 y 120 casas.
3) Indeterminación con respecto al conjunto A de atributos.
Pregunta a la fuente:
¿Cuáles son los colores de las casas?
La fuente:
Sé con certeza que hay casas de colores rojo, amarillo y azul, pero no sé si hay casas de otros colores (?)
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TreeSoft Set como una extensión del MultiSoft Set
3
Este es el IndetermSoft Set.
6 Definición de Hypersoft Set
Smarandache extendió en 2018 el Soft Set al Hypersoft Set [3, 4, 8] transformando la función F de una función
uniatributo a una función multiatributo.
Sea un universo de discurso, H un conjunto no vacío incluido en U, y P() el conjunto de potencias de .
Sean 1, 2, ..., , donde ≥ 1, atributos distintos, cuyos correspondientes atributos-valores son respectiva-
mente los conjuntos 1, 2, ..., , con ∩ = , para ≠ , y , ∈ {1, 2, ..., }.
Entonces el par (, 1 × 2 × ... × ), donde 1 × 2 × ... × representa el producto cartesiano, con : 1
× 2 × ... × → () se denomina Hypersoft Set.
En otras palabras, para cualquier (e
1
, e
2
, ..., e
n
) A
1
A
2
... A
n
, F (e
1
, e
2
, ..., e
n
)
(
H)
7 Ejemplo real de HyperSoft Set
Sea H = {h1, h2, h3, h4, h5, h6, h7} un conjunto de casas, y dos atributos a1 y a2, donde a1 = color, y su
conjunto de valores-atributo A1 = {blanco, verde, rojo}, y a2 = tamaño, y sus valores-atributo
A2 = {pequeño, grande}. La función F: A1×A2 → P(H), tal que:
F(blanco, pequeño) = {h1, h2}, F(verde, grande) = {h4, h6, h7}, F(rojo, grande) = {h3, h5}.
8 Definición de IndetermHyperSoft Set
Smarandache [4, 8] lo introdujo en 2022.
Sea un universo del discurso, H un subconjunto no vacío de , y P() el conjunto de potencias de . Sea
1, 2, ..., , donde ≥ 1, sean atributos distintos, cuyos correspondientes atributos-valores son respectiva-
mente los conjuntos
1
,
2
, ...,
, con
∩
= , para ≠ , y , ∈ {1, 2, ..., }.
Entonces el par (,
1
×
2
× ... × ), donde 1 × 2 × ... × representa el producto cartesiano, con
:
1
×
2
× ... × → () se denomina IndetermHyperSoft Set si:
i) al menos uno de los conjuntos A1, A2, ..., An tiene alguna indeterminación;
ii) o el conjunto P(H) tiene alguna indeterminación;
iii) o existe al menos un n-pleto (e1, e2, ..., en) A
1
A
2
... A
n
tal que F (e1, e2, ..., en) = indeterminado (poco
claro, incierto, conflictivo o no único);
iv) o dos o las tres situaciones anteriores.
El Conjunto IndetermHyperSoft tiene cierto grado de indeterminación y es una extensión del Conjunto Hype-
rSoft (determinado).
Del mismo modo, no se añade ninguna indeterminación, sino que la indeterminación se encuentra en nuestro
mundo real. Porque muchas fuentes dan información aproximada/incierta/incompleta/conflictiva, no información
exacta como en el Soft Set y en el Hypersoft Set, por lo que todavía tenemos que tratar con esas situaciones.
9 Ejemplo real de IndetermSoft Set
Supongamos que una ciudad tiene muchas casas.
1) Indeterminación con respecto a la función.
1a) Se pregunta a una fuente:
- ¿Qué casas son de color rojo y gran tamaño en la ciudad?
La fuente:
- No estoy seguro, creo que las casas h1 o h2.
Por lo tanto, F(rojo, grande) = h1 o h2 (respuesta indeterminada / incierta).
1b) Vuelve a preguntar:
- Pero ¿qué casas son amarillas y pequeñas?
La fuente:
- No lo sé, lo único que sé es que la casa h5 no es amarilla ni pequeña porque la he visitado.
Por lo tanto, F(amarillo, pequeño) = no h5 (de nuevo respuesta indeterminada / incierta).
1c) Otra pregunta:
- Entonces, ¿qué casas son azules y grandes?
La fuente:
- Ciertamente, h8 o h9
Por lo tanto, F (azul, grande) = h8 o h9
(de nuevo respuesta indeterminada / incierta).
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TreeSoft Set como una extensión del MultiSoft Set
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2) Indeterminación respecto al conjunto H de casas.
Pregunta a la fuente:
- ¿Cuántas casas hay en la ciudad? La fuente:
- Nunca las he contado, pero estimo que su número oscila entre 100 y 120 casas.
3) Indeterminación con respecto al conjunto A de atributos.
Pregunta a la fuente:
¿De qué colores y tamaños son las casas?
La fuente:
Sé con certeza que hay casas de colores rojo, amarillo y azul, pero no sé si hay casas de otros colores (?)
Sobre el tamaño, vi muchas casas que son pequeñas, pero no recuerdo haber visto casas grandes.
Este es el IndetermHyperSoft Set.
10 Definición de MultiSoft Set [7]
Sea U un universo de discurso, y H un subconjunto no vacío de U.
Y P(H) es el conjunto de potencias de H. Sean A
1
, A
2
, ..., A
n
n ≥ 2 conjuntos de atributos (parámetros) cuya
intersección
A1 ∩ A2 ∩... ∩ A n = ϕ.
Sea A= A1 ∪ A2 ∪...∪ An y P(A) el conjunto de potencias de A.
Entonces F: P(A) → P(H) es un MultiSoft Set sobre H.
Para ε∈ P(A) se considera que F(ε) es el conjunto de ε- conjuntos aproximados del MultiSoft Set
(F, P(A))
11 Extensión del Multisoft Set a un Hipersoft Set
Se introduce el elemento vacío ϕ en cada conjunto de valores de atributo y se denota
A
1
' = A
1
∪ {ϕ}, A
2
' = A
2
∪ {ϕ}, ..., A
n
' = A
n
∪ {ϕ}.
Sea ε = (ε
1
, ε
2
, ε
n
) ∈ A
1
' × A
2
' × ... × A
n
',
entonces ε
1
∈ A
1
' = A
1
∪ {ϕ} significa que ε
1
∈ A
1
ó ε
1
= ϕ (descartado);
de forma similar para todos ε
i
∈ A
i
' = A
i
∪ {ϕ},
Por lo que, F: A
1
' ×A
2
' ×... ×A
n
' → P(H) es un Hipersoft Set.
12 Ejemplo real de MultiSoft Set
Se retoma el ejemplo anterior para adaptarlo a un MultiSoft Set.
Sea H = {h
1
, h
2
, h
3
, h
4
, h
5
, h
6
, h
7
} un conjunto de casas, y dos atributos a
1
y a
2
, donde a
1
= color, y su conjunto
de valores-atributo A
1
= {blanco, verde, rojo}, y a
2
= tamaño, y sus valores-atributo A
2
= {pequeño, grande}. Sea
A= A
1
∪A
2
= {blanco, verde, rojo; pequeño, grande}, y P(A) el conjunto de potencias de A.
Entonces F: P(A) → P(H) se define del siguiente modo:
F(blanco) = {h
1
}, F(verde, grande) = {h
4
, h
6
}, F(grande) = {h
3
, h
5
}.
13 Multisoft Set real ampliado a un Hipersoft Set
Ampliemos A1 y A2:
A
1
' = {blanco, verde, rojo, ϕ} y A
2
' = {pequeño, grande, ϕ}
F': A
1
' ×A
2
' → P(H)
Entonces
F'(blanco, ϕ) ≡ F(blanco) ={h1} (ya que se descartó el atributo-valor ϕ).
F'(verde, grande) ≡ F(verde, grande) = {h4, h6}.
F'(ϕ, grande) ≡ F(grande) = {h3, h5} (ya que se descartó el atributo-valor ϕ).
14 Generalización de MultiSoft Set a TreeSoft Set
Sea U un universo de discurso, y H un subconjunto no vacío de U, siendo P(H) el conjunto de potencias de H.
Sea A un conjunto de atributos (parámetros, factores, etc.),
A = {A
1
, A
2
, ..., A
n
}, para ,
donde A
1
, A
2
, ..., A
n
son atributos de primer nivel (ya que tienen índices de un dígito).
Cada atributo A
i
,
, está formado por subatributos:
A
1
= {A
1,1
, A
1,2
, ...}
A
2
= {A
2,1
, A
2,2
, ...}
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TreeSoft Set como una extensión del MultiSoft Set
5
A
n
= {A
n,1
, A
n,2
, ...}
Donde A
i,j
son subatributos (o atributos de segundo nivel) (ya que tienen índices de dos dígitos).
De nuevo, cada subatributo A
i,j
está formado por sub-subatributos (o atributos de tercer nivel):
A
i,j,k
Y así sucesivamente, tanto refinamiento como sea necesario en cada aplicación, hasta sub-sub-...-sub-atributos
o atributos de nivel m (o que tengan m dígitos en los índices):
Por lo tanto, se forma un grafo-árbol, que denotamos como Tree(A), cuya raíz es A (considerado de nivel cero),
luego nodos de nivel 1, nivel 2, hasta el nivel m.
Llamamos hojas del grafo-árbol, a todos los nodos terminales (nodos que no tienen descendientes). Entonces
el TreeSoft Set es:
F: P(Tree(A)) → P(H).
Tree(A) es el conjunto de todos los nodos y hojas (del nivel 1 al nivel m) del grafo-árbol, y P(Tree(A)) es el
conjunto de potencias del Tree(A).
Todos los conjuntos de nodos del TreeSoft Set de nivel m son:
El primer conjunto está formado por los nodos del nivel 1, el segundo conjunto por los nodos del nivel 2, el
tercer conjunto por los nodos del nivel 3, y así sucesivamente, el último conjunto está formado por los nodos del
nivel m.
Si el grafo-árbol sólo tiene dos niveles (m = 2), el TreeSoft Set se reduce a un MultiSoft Set.
15 Ejemplo de TreeSoft Set de nivel 3
Nodo de nivel 0 (raíz del grafo o árbol): A.
Nodos de nivel 1: A
1
, A
2
.
Nodos de nivel 2: A
11
, A
12
, A
21
, A
22
.
Nodos de nivel 3: A
211
, A
212
.
De donde Tree(A) = {A
1
, A
2
; A
11
, A
12
; A
21
, A
22
; A
211
, A
212
}.
Las hojas son: A
11
, A
12
; A
211
, A
212
; A
22
. Como se puede ver, las hojas pueden tener varios niveles, en este caso:
2, o 3.
P(Tree(A)) es el conjunto de potencia de Tree(A).
F: P(Tree(A)) → P(H) es un TreeSoft Set de Nivel 3.
Figura 1: TreeSoft Set de Nivel 3
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16 Ejemplo práctico de TreeSoft Set de nivel 3
Figura 2: TreeSoft Set de Nivel 3 práctico.
Consideremos que H = {ℎ
1
, ℎ
2
, ..., ℎ
10
} es un conjunto de casas, y P(H) el conjunto de potencias de H.
Y el conjunto de atributos: A = {
1
,
2
}, donde
1
= tamaño,
2
= ubicación.
Entonces
1
= {
11
,
12
} = {pequeño, grande}.
2
= {
21
,
22
} = {Arizona, California}, estados americanos.
Más adelante,
21
= {
211
,
212
} = {Phoenix, Tucson}, ciudades de Arizona. Supongamos que la función F
obtiene los siguientes valores:
F(grande, Arizona, Phoenix) = {ℎ
9
, ℎ
10
}
F(grande, Arizona, Tucson) = {ℎ
1
, ℎ
2
, ℎ
3
, ℎ
4
}
F(grande, Arizona) = todas las casas grandes de ambas ciudades, Phoenix y Tucson,
= F(grande, Arizona, Phoenix) ∪ F(grande, Arizona, Tucson)= {ℎ
1
, ℎ
2
, ℎ
3
, ℎ
4
, ℎ
9
, ℎ
10
}
17 Propiedades del TreeSoft Set
17.1 Teorema 1
F(nodo) incluye todos los descendientes del nodo, y los sub-descendientes, luego los sub-sub-descendientes,
y así sucesivamente hasta las hojas correspondientes.
Del Ejemplo anterior (15), se tiene:
(
21
) = (
211
) ∪ (
212
), y por consiguiente
(
12
,
21
) = (
12
,
211
) ∪ (
12
,
212
).
17.2 Teorema 2
Sea ∈ Tree() un nodo.
N genera un SubTree(N) cuya raíz es el propio N.
Entonces () =
(
)
(
(
)
)
donde
(
)
son todas las hojas del SubTree(N).
Del Ejemplo anterior (15):
(
2
) = (
21
) ∪ (
22
) = ((
211
) ∪ (
212
)) ∪ (
22
) = (
211
) ∪ (
212
) ∪ (
22
)
donde
211
,
212
,
22
son todas las hojas del SubTree cuya raíz es
2
{es decir, SubTree(
2
)}.
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La prueba del Teorema 2 es obvia, independientemente del grafo-árbol que se tenga, y es similar al siguiente
Ejemplo:
Figura 3: Tree (N).
Los nodos marcados con un círculo son las hojas.
() = (
1
) ∪ (
2
) ∪(
3
) ∪ (
4
)
= (1) ∪ [(21) ∪ (22) ∪ (3) ∪ (41) ∪ (42) ∪ (43)]
= (1) ∪ (21) ∪ (22) ∪ (3) ∪ [(411) ∪ (412)] ∪ (42) ∪ (43)
= (1) ∪ (21) ∪ (22) ∪ (3) ∪ (411) ∪ [(4121) ∪ (4122)] ∪ (42) ∪ (43)
= (1) ∪ (21) ∪ (22) ∪ (3) ∪ (411) ∪ (41211) ∪ (41212) ∪ (42) ∪ (43)
que es la unión de los soft-values F(.) de todas las hojas del SubTree(N).
En realidad, los teoremas 1 y 2 son equivalentes.
17.3 Teorema 3
,
donde
son nodos de varios niveles en el TreeSoft Set de N.
La prueba resulta del hecho de que F (
) representa el subconjunto H
1
de elementos en H que tienen el
atributo-valor
, y F (
) representa el subconjunto H
2
de elementos en H que tienen el atributo-valor
así
sucesivamente F (
) representa el subconjunto H
p
de elementos en H que tienen el atributo-valor
, por lo que
para obtener los elementos que tienen todos estos valores de atributo hay que intersecan estos subconjuntos
H
1
H
2
H
p
.
18 Investigación futura
Definir las operaciones (complemento, intersección, unión) para IndetermSoft Set, IndetermHyperSoft Set y
TreeSoft Set respectivamente y utilizarlas en aplicaciones reales.
Conclusión
Presentamos el TreeSoft Set como una extensión del MultiSoft Set. Presentamos aplicaciones prácticas senci-
llas de IndetermSoft Set, IndetermHyperSoft Set y TreeSoft Set, respectivamente, para una mejor comprensión.
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Referencias
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[3] Neutrosophic Sets and Systems, vol. 22, 2018, pp. 168-170.
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[5] Florentin Smarandache, Extension of Soft Set to Hypersoft Set, and then to Plithogenic Hypersoft Set (revis-
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and Systems, Vol. 50, pp. 629-650, 2022
[7] DOI: 10.5281/zenodo.6774960; http://fs.unm.edu/NSS/IndetermSoftIndetermHyperSoft38.pdf
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[10] Shawkat Alkhazaleh, Abdul Razak Salleh, Nasruddin Hassan, Abd Ghafur Ahmad, Multisoft Sets, Proc.
[11] 2nd International Conference on Mathematical Sciences, pp. 910-917, Kuala Lumpur, Malasia, 2010.
[12] F. Smarandache, Soft Set Product extended to HyperSoft Set and IndetermSoft Set Product extended to In-
determHyperSoft Set, Journal of Fuzzy Extension and Applications, 2022, DOI:
10.22105/jfea.2022.363269.1232, http://www.journal-fea.com/article_157982.html
Recibido: Octubre 02, 2022. Aceptado: Diciembre 15, 2022
