Neutrosophic Computing and Machine Learning, Vol. 31, 2024
Florentin Smarandache. Fundamentos de Topologías de Vanguardia (artículo de revisión parcial)
University of New Mexico
Fundamentos de Topologías de Vanguardia
(artículo de revisión parcial)
Fundamentals of Vanguard Topologies
(partial review article)
Florentin Smarandache
1
1
Universidad de Nuevo México, División de Matemáticas, Física y Ciencias Naturales
705 Gurley Ave., Gallup, NM 87301, EE. UU. E-mail: smarand@unm.edu
Resumen. Recientemente hemos encontrado nueve nuevas topologías: Topología No Estándar, Mayor Extensión de la
Topología Real No Estándar, Topologías Débiles/Fuertes de Triplete Neutrosófico, Topologías Débiles/Fuertes de Triplete
Neutrosófico Extendido, Topología de Dupla Neutrosófica, Topología de Dupla Neutrosófica Extendida, Topología de Multi
Conjunto Neutrosófico, y recordamos y mejoramos las siete topologías previamente fundadas en los años (2019-2023), a saber:
Topología Neutrosófica No Estándar, Neutro Topología, Anti Topología, Topología Neutrosófica Refinada, Topología Nítida
Neutrosófica Refinada, Super Hiper Topología y Super Hiper Topología Neutrosófica. Se llaman topologías de vanguardia
debido a sus formas innovadoras.
Summary. We have recently found nine new topologies: Non-Standard Topology, Further Extension of Real Non-Standard
Topology, Weak/Strong Neutrosophic Triplet Topologies, Weak/Strong Neutrosophic Extended Triplet Topologies,
Neutrosophic Dupla Topology, Neutrosophic Extended Dupla Topology, Neutrosophic Multi Set Topology, and we recall and
improve the previously founded seven topologies in the years (2019-2023), viz: Non-Standard Neutrosophic Topology,
Neutrosophic Topology, Anti Topology, Refined Neutrosophic Topology, Refined Neutrosophic Sharp Topology, Super Hyper
Topology and Super Hyper Neutrosophic Topology. They are called state-of-the-art topologies because of their innovative
shapes.
Palabras clave: Topología Clásica, Espacio Topológico, NeutroSoficación, AntiSoficación, NeutroTopología, AntiTopología,
Topología Neutrosófica Refinada, Topología Nítida Neutrosófica Refinada, Super Hiper Topología, Neutro Super Hiper
Topología, Conjunto Real No Estándar Extendido, Topología No Estándar, Topología Neutrosófica No Estándar, Topología
Neutrosófica No Estándar Extendida más Grande; monada izquierda, monada derecha, binada perforada, monada izquierda
cerrada a la derecha, monada derecha cerrada a la izquierda, binada no perforada, SobreTopología Neutrosófica, InfraTopología
Neutrosófica, ExtraTopología Neutrosófica, (Difusa y Difusa-Extensiones) Sobre/Infra/Extra-Topologías, Topología Multi
Conjunto Neutrosófica.
Keywords: Classical Topology, Topological Space, NeutroSofication, AntiSofication, NeutroTopology, AntiTopology,
Refined Neutrosophic Topology, Refined Neutrosophic Crisp Topology, Super Hyper Hyper Topology, Neutro Super Hyper
Topology, Extended Non-Standard Real Set, Non-Standard Topology, Non-Standard Neutrosophic Topology, Largest
Extended Non-Standard Neutrosophic Topology; Left Monad, Right Monad, Perforated Binned, Left Closed Right Monad,
Right Closed Left Monad, Non-Perforated Binned, Neutrosophic OverTopology, Neutrosophic InfraTopology, Neutrosophic
ExtraTopology, (Fuzzy and Fuzzy-Extensions) Over/Infra/Extra-Topologies, Neutrosophic Multi-Set Topology.
1 Introducción
La base de nuevas topologías surgieron del desarrollo de otros campos como Neutro Álgebra y Anti Álgebra
(que dieron origen a la NeutroTopología y la AntiTopología), Super Hiper Álgebra y Neutro Super Hiper Álgebra
(que dieron origen a la Super Hiper Topología y la Neutro Super Hiper Topología), Conjunto Nítido Refinado (que
dio origen a la Topología Nítida Refinada), y Conjunto Neutrosófico Refinado (que dio origen a la Topología
Neutrosófica Refinada), y Conjunto No Estándar (que da origen a la Topología No Estándar y la Topología
Neutrosófica No Estándar), Conjunto de Triplete Neutrosófico, Conjunto de Triplete Neutrosófico Extendido,
Conjunto Neutrosófico Dual, Conjunto Neutrosófico Dual Extendido, y Conjunto Neutrosófico Multi Conjunto.
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Este es casi un territorio virgen ya que se ha hecho poca investigación al respecto, principalmente sobre la
AntiTopología [8]. Sin embargo, es un campo prometedor para estudiar en el futuro, ya que refleja mejor nuestro
mundo real, donde las leyes (axiomas) no se aplican en el mismo grado para todas las personas (las personas
poderosas están por encima de la ley, otras son inmunes a la ley, y muchos sienten todo el peso de la ley); ya que
el mundo como un sistema dinámico está formado por subsistemas, y cada subsistema por sub-subsistemas y así
sucesivamente (de ahí la necesidad de introducir la Super Hiper Estructura basada en el n-ésimo Conjunto Potencia
de un Conjunto, cuyos casos particulares son la Super Hiper Álgebra y la Super Hiper Topología), etc.
Recordamos la definición clásica de Topología, luego los procedimientos de NeutroSoficación y
respectivamente AntiSoficación de la misma, lo que resulta en la adición de dos nuevos tipos de topologías: Neutro
Topología y AntiTopología respectivamente.
Luego definimos la topología en un Conjunto Neutrosófico Refinado (2013), Conjunto Nítido Neutrosófico
Refinado [3]. Después, extendemos la topología en el marco de la Super Hiper Álgebra [6], luego el Conjunto
Neutrosófico No Estándar a la Topología No Estándar y la Neutro Topología No Estándar (nunca antes definidas).
Se presentan los espacios topológicos neutrosóficos correspondientes.
Esta investigación es una mejora del documento [7] y el libro [12, secciones 4.8 y 4.9].
2. Topología Clásica
Sea un conjunto no vacío y P() el conjunto potencia de .
Sea una familia de subconjuntos de .
Entonces se llama Topología Clásica en si satisface los siguientes axiomas:
(CT-1) y pertenecen a .
(CT-2) La intersección de cualquier número finito de elementos en está en .
(CT-3) La unión de cualquier número finito o infinito de elementos en está en .
Los tres axiomas son totalmente (100%) verdaderos (o T = 1, I = 0, F = 0). Simplemente los llamamos axiomas
(clásicos).
Entonces (,) se llama Espacio Topológico Clásico en
3. NeutroSoficación de los Axiomas Topológicos
La NeutroSoficación de los axiomas topológicos implica que los axiomas se vuelven parcialmente verdaderos,
parcialmente indeterminados y parcialmente falsos. Se les llama Neutro Axiomas.
(NCT-1) O bien
o
(NCT-2) Existen un número finito de elementos en τ cuya intersección pertenece a τ (grado de verdad T); y un
número finito de elementos en τ cuya intersección es indeterminada (grado de indeterminación I); y un número
finito de elementos en τ cuya intersección no pertenece a τ (grado de falsedad F); donde (T, I, F) {(1,0,0),(0,0,1)}
ya que (1, 0, 0) representa la Topología Clásica, mientras que (0, 0, 1) representa la Anti Topología.
(NCT-3) Existen un número finito o infinito de elementos en τ cuya unión pertenece a τ (grado de verdad T);
y un número finito o infinito de elementos en τ cuya unión es indeterminada (grado de indeterminación I); y un
número finito o infinito de elementos en τ cuya unión no pertenece a τ (grado de falsedad F); donde, por supuesto,
(T, I, F) {(1,0,0),(0,0,1)}.
4. AntiSoficación de los Axiomas Topológicos Clásicos
AntiSoficación de los axiomas topológicos significa negar (anti) los axiomas, los cuales se vuelven
totalmente (100%) falsos (o T = 0, I = 0, F = 1). Se les llama Anti Axiomas.
(AAT-1) y .
(AAT-2) La intersección de cualquier número finito (n≥2) de elementos en τ no está en τ.
(AAT-3) La unión de cualquier número finito o infinito (n≥2) de elementos en τ no está en τ.
5. <Topología, NeutroTopología, AntiTopología>
Como tal, tenemos un triplete neutrosófico de la forma:
<Axioma(1, 0, 0), NeutroAxioma(T, I, F), AntiAxioma(0, 0, 1)>,
donde (T, I, F) (1, 0, 0) y (T, I, F) (0, 0, 1).
En consecuencia, se tiene:
<Topología, NeutroTopología, AntiTopología>.
Por tanto, en general:
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La Topología (Clásica) es una topología que tiene todos los axiomas totalmente verdaderos. Simplemente los
llamamos Axiomas.
La NeutroTopología es una topología que tiene al menos un NeutroAxioma y los demás son todos Axiomas
clásicos [por lo tanto, no hay AntiAxioma].
La AntiTopología es una topología que tiene uno o más AntiAxiomas, sin importar cuáles sean los otros
(Axiomas clásicos o NeutroAxiomas).
6. Teorema sobre el número de Estructuras/Neutro Estructuras/Anti Estructuras
Si una Estructura tiene m axiomas, con m ≥ 1, entonces después de la NeutroSoficación y la AntiSoficación se
obtienen 3m tipos de estructuras, categorizados de la siguiente manera:
1 Estructura Clásica + (2m - 1) Neutro Estructuras + (3m - 2m) Anti Estructuras = 3m Estructuras.
7. Consecuencia sobre el número de Topologías/Neutro Topologías/Anti Topologías
Como caso particular del teorema anterior, a partir de una Topología que tiene m = 3 axiomas, se obtienen,
después de la NeutroSoficación y la AntiSoficación, 3^3 = 27 tipos de estructuras, como sigue: 1 Topología clásica,
3^3 - 2^3 = 7 NeutroTopologías y 3^3 - 2^2 = 19 AntiTopologías.
1 Topología Clásica + 7 NeutroTopologías + 19 AntiTopologías = 27 Topologías
se presentan a continuación:
Hay 1 (un) tipo de Topología Clásica, cuyos axiomas se enumeran a continuación:
1 Topología Clásica.
8. Definición de NeutroTopología [4, 5]
Es una topología que tiene al menos un axioma topológico que es parcialmente verdadero, parcialmente
indeterminado y parcialmente falso, o (T, I, F), donde T = Verdadero, I = Indeterminación, F = Falso, y ningún
axioma topológico es totalmente falso, en otras palabras: , donde (1, 0, 0) representa la Topología clásica, mientras
que (0, 0, 1) representa la AntiTopología. Por lo tanto, la NeutroTopología es una topología intermedia entre la
Topología clásica y la AntiTopología.
Hay 7 tipos de NeutroTopologías diferentes, cuyos axiomas, para cada tipo, se enumeran a continuación:
7 NeutroTopologías
,
,
,
,
.
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9. Definición de AntiTopología [4, 5]
Es una topología que tiene al menos un axioma topológico que es 100% falso (T, I, F) = (0, 0, 1).
La NeutroTopología y la AntiTopología son casos particulares de la Neutro Álgebra y la Anti Álgebra [4] y,
en general, todas son casos particulares de la Neutro Estructura y la Anti Estructura respectivamente, ya que
consideramos "Estructura" en cualquier campo del conocimiento [5].
Hay 19 tipos diferentes de AntiTopologías, cuyos axiomas, para cada tipo, se enumeran a continuación:
19 AntiTopologías
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
10. Conjunto Neutrosófico Refinado
Sea U un universo de discurso y R un subconjunto no vacío del mismo,
con todos los
y sin restricción en sus sumas
, con , donde p, r, s ≥ 0 son enteros fijos, y al menos uno de ellos es ≥ 2, para
garantizar el refinamiento (subpartes) o multiplicidad (multipartes) -dependiendo de la aplicación- de al menos un
componente neutrosófico entre T (verdad), I (indeterminación), F (falsedad); y por supuesto .
Por notación, consideramos que el índice cero significa el conjunto vacío, es decir,
(o cero),
y lo mismo para las subpartes (o multipartes) faltantes. Por ejemplo, el conjunto Neutrosófico Refinado (2,3,1)
abajo es idéntico a un conjunto Neutrosófico Refinado (3,3,3):
,
donde los componentes faltantes T
3
, y F
2
, F
3
fueron reemplazados cada uno por 0 (cero). R se llama conjunto
neutrosófico refinado (p, r, s) { o (p, r, s)-RNT }.
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El conjunto neutrosófico ha sido extendido al Conjunto (Lógica y Probabilidad) Neutrosófico Refinado por
Smarandache [1] en 2013, donde existen múltiples partes de los componentes neutrosóficos, como T que se dividió
en subcomponentes T
1
, T
2
, ..., T
p
, e I en I
1
, I
2
, ..., I
r
, y F en F
1
, F
2
, ..., F
s
, con p + r + s = n ≥ 2 y enteros p, r, s ≥ 0
y al menos uno de ellos es ≥ 2 para garantizar el refinamiento (o multiplicidad) de al menos un componente
neutrosófico entre T, I, y F.
Aún más: los subcomponentes T
j
, I
k
, y/o F
l
pueden ser conjuntos infinitos contables o no contables en [0, 1].
Esta definición también incluye el Conjunto Difuso Refinado, cuando r = s = 0 y p ≥ 2;
y la definición del Conjunto Difuso Intuicionista Refinado, cuando r = 0, ya sea p ≥ 2 y s ≥ 1, o p ≥ 1 y s ≥ 2.
Todos los demás conjuntos de extensión difusa (Conjunto Difuso Pitagórico, Conjunto Difuso Esférico,
Conjunto Difuso Fermateano, Conjunto Difuso Ortopar q-Rung, etc.) pueden ser refinados/multiplicados de
manera similar.
11. Definición de Topología Neutrosófica Refinada
Sea un universo de discurso, y P() la familia de todos los conjuntos neutrosóficos refinados (p, r, s) de
.
Sea
una familia de conjuntos neutrosóficos refinados (p, r, s) de .
Entonces,
se llama una Topología Neutrosófica Refinada (RNT) si satisface los axiomas:
(RNT-1) y pertenecen a
;
(RNT-2) La intersección de cualquier número finito de elementos en
está en
;
(RNT-3) La unión de cualquier número finito o infinito de elementos en
está en
;
Entonces, (,
) se llama un Espacio Topológico Neutrosófico Refinado sobre .
La Topología Neutrosófica Refinada es una topología definida en un Conjunto Neutrxosófico Refinado.
{De manera similar, la Topología Difusa Refinada se define en un Conjunto Difuso Refinado, mientras que
la Topología Difusa Intuicionista Refinada se define en un Conjunto Difuso Intuicionista Refinado, etc.
Y, como generalización, en cualquier tipo de conjunto de extensión difusa [Conjunto Difuso Pitagórico,
Conjunto Difuso Esférico, Conjunto Difuso Fermateano, Conjunto Difuso Ortopar q-Rung, etc.] se puede definir
una topología de extensión difusa correspondiente.}
12. Conjunto Nítido Neutrosófico
El Conjunto Nítido Neutrosófico fue definido por Salama y Smarandache en 2014 y 2015.
Sea X un espacio fijo no vacío. Y sea D un Conjunto Nítido Neutrosófico [2], donde D = <A, B, C>, con A, B, C
como subconjuntos de X.
Dependiendo de las intersecciones y uniones entre estos tres conjuntos A, B, C se obtienen varios
Tipos de Conjuntos Nítidos Neutrosóficos [2, 3]
El objeto con la forma D = <A, B, C> es llamado:
(a) Un conjunto nítido neutrosófico de Tipo 1 (NCS-Tipo 1) si satisface:
A∩ B = B∩ C = C∩ A =
(conjunto vacío).
(b) Un conjunto nítido neutrosófico de Tipo 2 (NCS-Tipo 2) si satisface:
A∩ B = B∩ C = C∩ A =
y A B C = X.
(c) Un conjunto nítido neutrosófico de Tipo 3 (NCS-Tipo 3) si satisface:
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6
A∩ B ∩ C =
y A
B
C = X.
Por supuesto, se pueden definir más tipos de conjuntos nítidos neutrosóficos modificando las intersecciones y
uniones de los subconjuntos A, B y C.
13. Conjunto Nítido Neutrosófico Refinado
El Conjunto Nítido Neutrosófico Refinado [3] fue introducido por Smarandache en 2019,
refinando/multiplicando D (y denotándolo como RD = D Refinado) mediante la refinación/multiplicación de sus
conjuntos A, B, C en subconjuntos/subconjuntos múltiples de la siguiente manera:
RD = (A
1
, ..., A
p
; B
1
, ..., B
r
; C
1
, ..., C
s
), con p, r, s ≥ 1 siendo enteros positivos y al menos uno de ellos
siendo ≥ 2 para garantizar la refinación/multiplicación de al menos un componente entre A, B, C, donde
y muchos tipos de conjuntos nítidos neutrosóficos refinados se pueden definir modificando las intersecciones o
uniones de los subconjuntos/multiconjuntos
, dependiendo de cada
aplicación.
14. Definición de Topología Nítida Neutrosófica Refinada
Sea un universo de discurso, y P() la familia de todos los subconjuntos nítidos neutrosóficos refinados
(p, r, s) de .
Sea
una familia de subconjuntos nítidos neutrosóficos refinados (p, r, s) de .
Entonces,
se llama Topología Nítida Neutrosófica Refinada (RNCT) si satisface los axiomas:
(RNCT-1) ϕ y pertenecen a
;
(RNCT-2) La intersección de cualquier número finito de elementos en
está en
;
(RNCT-3) La unión de cualquier número finito o infinito de elementos en
está en
.
Entonces, (,
) se llama un Espacio Topológico Nítido Neutrosófico Refinado en .
Por lo tanto, la Topología Nítida Neutrosófica Refinada es una topología definida en el Conjunto Nítido
Neutrosófico Refinado.
15. Definición de los n-ésimos Conjuntos de Potencia
y
.
Los nésimos Conjuntos de Potencia
y
del conjunto H, en los que se basan la Super Hiper
Topología y respectivamente la Super Hiper Topología Neutrosófica, describen mejor nuestro mundo real, ya que
un sistema H (que puede ser un conjunto, empresa, institución, país, región, etc.) está organizado en sub-sistemas,
que a su vez están organizados cada uno de ellos en sub-subsistemas, y así sucesivamente.
El Conjunto de Potencia n-ésimo
se define recursivamente:
donde P se repite n veces en la última fórmula,
y el conjunto vacío
(que representa indeterminación, incertidumbre) está permitido en todos los términos
de secuencia:
.
Similarmente,
El Conjunto de Potencia n-ésimo
se define recursivamente:
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7
0
*
1
**
2
* * *
32
* * * * * *
1
*
* * * * *
()
( ) ( )
( ) ( ( ))
( ) ( ( )) ( ( ( )))
.................................................................
( ) ( ( )) ( (... ( )...))
def
nn
n
P H H
P H P H
P H P P H
P H P P H P P P H
P H P P H P P P H
−
=
=
=
==
==
donde P se repite n veces en la última fórmula,
y el conjunto vacío
(que representa indeterminación, incertidumbre) no está permitido en ninguno de los
términos de la secuencia:
23
* * * *
, ( ), ( ), ( ),..., ( )
n
H P H P H P H P H
.
16. Super Hiper Operación
Recordamos nuestros conceptos de 2016 de Super Híper Operación, Super Híper Axioma, Super Híper Álgebra
y sus correspondientes Super Híper Operación Neutrosófica, Neutrosophic Super Hiper Axioma Neutrosófico y
Neutrosophic Super Hiper Álgebra.
Sea
el n-ésimo conjunto potencia del conjunto H tal que ninguno de P(H), P
2
(H), …, P
n
(H) contiene el
conjunto vacío ϕ.
Además, sea
el n-ésimo conjunto potencia del conjunto H tal que al menos uno de los conjuntos P(H),
P
2
(H), …, P
n
(H) contiene el conjunto vacío ϕ. Para cualquier subconjunto A, identificamos {A} con A.
Las Super Hiper Operaciones son operaciones cuyo codominio es o bien
y en este caso se tienen Super
Hiper Operaciones de tipo clásico, o bien
y en este caso se tienen Super Hiper Operaciones Neutrosóficas,
para enteros n≥2.
17. El conjunto potencia n-ésimo describe mejor nuestro mundo real.
Los conjuntos potencia n-ésimos
y
, en los que se basan la Super Hiper Topología y la Super
Hiper Topología Neutrosófica respectivamente, describen mejor nuestro mundo real, ya que un sistema H (que
puede ser un conjunto, una empresa, una institución, un país, una región, etc.) está organizado en sub-sistemas,
que a su vez están organizados cada uno en sub-subsistemas, y así sucesivamente.
18. Super Hiper Axioma
Un Super Hiper Axioma de tipo clásico o más precisamente un (m, n)-Super Hiper Axioma es un axioma
basado en Super Hiper Operaciones de tipo clásico.
De manera similar, un Super Hiper Axioma Neutrosófico {o (m, n)-Super Hiper Axioma Neutrosófico} es un
axioma basado en Super Hiper Operaciones Neutrosóficas.
Existen:
• Super Hiper Axiomas Fuertes, cuando el lado izquierdo es igual al lado derecho como en los
axiomas no hiper,
• y Super Hiper Axiomas Débiles, cuando la intersección entre el lado izquierdo y el lado derecho no
es vacía.
19. Super Hiper Álgebra y Super Hiper Estructura
Una Super Hiper Álgebra o más precisamente una (m-n)-Super Hiper Álgebra es un álgebra que trata con Super
Hiper Operaciones y Super Hiper Axiomas.
Por otra parte, una Super Hiper Álgebra Neutrosófica {o (m, n)-Super Hiper Álgebra Neutrosófica } es un
álgebra que trata con Super Hiper Operaciones Neutrosóficas y Super Hiper Operaciones Neutrosóficas.
En general, tenemos Super Hiper Estructuras {o (m-n)-Super Hiper Estructuras}, y correspondientes Super
Hiper Estructuras Neutrosóficas. Por ejemplo, existen Super Hiper Grupoides, Super Hiper Semigrupos, Super
Hiper Grupos, Super Hiper Anillos, Super Hiper Espacios Vectoriales, etc.
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20. Distinción entre Super Hiper Algebra y Super Hiper Algebra Neutrosófica
i. Si ninguno de los conjuntos de potencia
, 1≤k≤n, no incluye el conjunto vacío ϕ, entonces se
tiene una Super Hiper Álgebra de tipo clásico;
ii. Si al menos un conjunto de potencia,
, 1≤k≤n, incluye el conjunto vacío ϕ, entonces se tiene
una Super Hiper Álgebra Neutrosófica.
21. Definición de Super Hiper Topología (SHT)[6]
Es una topología diseñada sobre el Conjunto Potencia enésimo de un conjunto no vacío dado H, que excluye
el conjunto vacío, denotado como
, construido de la siguiente manera:
es el primer conjunto potencia del conjunto H, y el índice * significa sin el conjunto vacío (Ø);
es el segundo conjunto potencia de H (o el conjunto potencia del conjunto potencia de H),
sin los conjuntos vacíos; y así sucesivamente, el enésimo conjunto potencia de H,
, donde
se repite n veces ( n ≥ 2 ), y sin los conjuntos vacíos.
Consideremos
como una familia de subconjuntos de
Entonces,
se llama Super Hiper Topología Neutrosófica sobre
, si satisface los siguientes
axiomas:
(SHT-1) ϕ y
) pertenecen a
.
(SHT-2) La intersección de cualquier número finito de elementos en
está en
.
(SHT-3) La unión de cualquier número finito o infinito de elementos en
está en
.
Entonces, (
,
) se llama un Super Hiper Espacio Topológico en
.
22. Definición de Super Hiper Topología Neutrosófica (NSHT)[6]
Es, de manera similar, una topología diseñada en el n-ésimo Conjunto Potencia de un conjunto dado no vacío
H, pero también incluye los conjuntos vacíos [que representan las indeterminaciones].
Como tal, en las fórmulas anteriores,
que excluye el conjunto vacío, se reemplaza por que incluye
el conjunto vacío.
es el primer conjunto potencia del conjunto H, incluyendo el conjunto vacío (Ø);
es el segundo conjunto potencia de H (o el conjunto potencia del conjunto potencia de H),
que incluye los conjuntos vacíos;
y así sucesivamente, el n-ésimo conjunto potencia de H,
donde P se repite n veces ( n ≥ 2 ) e incluye los conjuntos vacíos (Ø).
Consideremos
como una familia de subconjuntos de
()
n
PH
.
Entonces
se llama Super Hiper Topología Neutrosófica en
()
n
PH
, si satisface los siguientes axiomas:
(NSHT-1) y
pertenecen a
.
(NSHT-2) La intersección de cualquier número finito de elementos en
está en
.
(NSHT-3) La unión de cualquier número finito o infinito de elementos en
está en
.
Entonces
se llama Espacio Super Hiper Topológico Neutrosófico en
.
23. Introducción al Análisis No Estándar [9, 10, 11, 12, 29]
Un infinitesimal (ε) es un número ε tal que |ε|<1/n, para cualquier número entero positivo n no nulo. Un
infinitesimal está cerca de cero, tan pequeño que no puede ser medido.
El infinitesimal es un número más pequeño, en valor absoluto, que cualquier cosa positiva diferente de cero.
Los infinitesimales se utilizan en cálculo.
Un infinito (ω) es un número mayor que cualquier cosa:
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1 + 1 + 1 + … + 1 (para cualquier cantidad finita de términos)
Los infinitos son los recíprocos de los infinitesimales.
El conjunto de hiperreales (o números no estándar reales), denotado como R*, es la extensión del conjunto de
los números reales, denotado como R, y comprende los infinitesimales y los infinitos, que pueden representarse en
la recta numérica hiperreal.
1/ε = ω/1.
El conjunto de hiperreales cumple el principio de transferencia, que establece que las afirmaciones de primer
orden en R también son válidas en R*.
Una mónada (halo) de un elemento a R*, denotado por μ(a), es un subconjunto de números
infinitesimalmente cercanos a a.
24. Primera extensión del análisis no estándar (Smarandache, 1998)
Denotemos por R+* el conjunto de números hiperreales positivos distintos de cero.
Consideramos la mónada izquierda y la mónada derecha, y la binada (perforada) que introdujimos como
extensión en 1998 [5]:
Mónada izquierda{ que denotamos, por simplicidad, por (
-
a) o solo
–
a } se define como:
μ(
-
a) = (
-
a) =
–
a =
= {a - x, x R
+
*
| x es infinitesimal}.
Mónada derecha{ que denotamos, por simplicidad, por (a
+
) o sólo por a
+
} se define como:
μ(a
+
) = (a
+
) = a
+
=
= {a + x, x R
+
*
| x es infinitesimal}.
Binada perforada{ que denotamos, por simplicidad, por (
-
a
+
) o solo
-
a
+
} se define como:
μ(
-
a
+
) = (
-
a
+
) =
-
a
+
=
=
= {a - x, x
R
+
*
| x es infinitesimal}{a + x, x
R
+
*
| x es infinitesimal}
= { , x R
+
*
| x es infinitesimal}.
La mónada izquierda, la mónada derecha y la binada perforada son subconjuntos de R*.
25. Segunda extensión del Análisis No Estándar
Por la necesidad de realizar cálculos que se utilizarán en la lógica neutrosófica no estándar con el fin de calcular
los operadores de lógica neutrosófica no estándar (conjunción, disyunción, negación, implicación, equivalencia) y
para tener el conjunto de MoBiNad Real no estándar cerrado bajo operaciones aritméticas, Smarandache extendió
en 2019: la mónada izquierda a la Mónada Izquierda Cerrada a la Derecha, la mónada derecha a la Mónada Derecha
Cerrada a la Izquierda; y la Binada Perforada a la Binada No Perforada, definido de la siguiente manera:
Mónada izquierda cerrada a la derecha
{a – x | x = 0, or x R
+
*
y x es infinitesimal} = μ(-a)
{a} = (-a)
{a}
= –un
{a}.
Mónada derecha cerrada a la izquierda
{a + x | x = 0, or x R
+
*
y x es infinitesimal} = μ(a
+
) {a} = (a
+
) {a}
= a
+
{a}.
Binada sin perforar
{a – x | x R
+
*
y x es infinitesimal}
{a + x | x R
+
*
y x es infinitesimal}
{un} =
= { | x = 0, or x R
+
*
y x es infinitesimal}
= μ(
-
a
+
){a} = (
-
a
+
){a} =
-
a
+
{a}
El elemento {a} se ha incluido en la mónada izquierda, la mónada derecha y la binada perforada
respectivamente.
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10
26. Topología Neutrosófica No Estándar
Las dos extensiones anteriores del Análisis No Estándar, utilizadas en la construcción de la
Lógica Neutrosóca No Estándar, el Conjunto Neutrosóco No Estándar y la Probabilidad
Neutrosóca No Estándar, se denieron en el Intervalo Unitario No Estándar.
I
noestandar
=
,
fundamos [13] desde 1998, y anteriormente lo hemos propuesto [13, 14, 15, 29], donde:
I
noestandar
=
, dónde R es el conjunto de los números
reales.
Sea
el conjunto potencia de
.
Sea τ =
, lo que significa que τ es la familia de todos los subconjuntos de
. Por supuesto:
i.
y
] 0,1 [
−+
pertenecen a τ.
ii. La intersección de cualquier número finito de elementos en τ está en τ.
iii. La unión de cualquier número de elementos finitos o infinitos en τ está en τ.
Por lo tanto, τ es una topología neutrosófica no estándar.
Entonces (
] 0,1 [
−+
, τ) se denomina espacio topológico neutrosófico no estándar.
27. Topología no estándar
Como generalización de la Topología Neutrosófica No Estándar, se propone ahora la Topología No Estándar.
Consideremos los números reales y el intervalo real . Extendámoslo a un intervalo no estándar
es de la misma manera que para la Lógica y el Conjunto Neutrosóficos No Estándar.
Tengamos por convención el mismo significado de las siguientes notaciones:
, y
, also
para cualquier número real x.
Entonces:
, donde R es el conjunto de los números reales.
Sea U
NonStandard
=
un intervalo no estándar, para a < b, donde a y b son números reales, y P(U
NonStandard
)
sea el conjunto potencia de U
NonStandard r
.
Entonces P(U
NonStandard
) está formado por el conjunto vacío (
) y él mismo U
NonStandard r
, junto con
todos los subconjuntos estándar y no estándar de
.
Las intersecciones nitas y las uniones nitas o innitas de cualquier subconjunto estándar y no
estándar siguen siendo subconjuntos (estándar o no estándar) de U
NonStandard r
.
Sea τ
NonStandard
P(U
NonStandard
) una familia de subconjuntos estándar o no estándar de P(U
NonStandard
).
Entonces τ
NonStandard
se denomina topología no estándar en U
NoEstandar
si satisface los siguientes axiomas:
i. El conjunto vacío (
) y U
NoEstandar
pertenece a τ
NonStandard
.
ii. La intersección de un número finito de elementos en τ
NonStandard
aún está en τ
NonStandard
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de elementos en en τ
NonStandard
aún está en
τ
NonStandard
.
Entonces (U
NonStandard,
τ
NonStandard
) se denomina Espacio Topológico No Estándar.
28. Conjunto Real No Estándar Extendido (
0
ER
−+
)
Lo presentamos ahora por primera vez:
0 0 0 0
0
{ ; , , , , , , ; }x x x x x x x x x R
ER
− + − + −+ − +
−+
=
, de hecho:
0 0 0 0 0
ER R R R R R R R
− + − + − + −+ − +
=
,
donde se utilizan las notaciones:
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11
29. Topología Real No Estándar Extendida Mayor
, que es el conjunto de potencias de
, genera la Topología Real No Estándar Extendida Mayor de todo
el conjunto real no estándar extendido
0
ER
−+
.
30. Sobre/Infra/Extra-Conjunto y Lógicas y Probabilidades
El Conjunto Neutrosófico se extendió [Smarandache, 2007] al SobreConjunto Neutrosófico (cuando algún
componente Neutrosófico es > 1), ya que observamos que, por ejemplo, un empleado que trabaja horas extras
merece un grado de pertenencia > 1, en comparación con un empleado que solo trabaja a tiempo completo regular
y cuyo grado de pertenencia = 1;
y al InfraConjunto Neutrosófico (cuando algún componente Neutrosófico es < 0), ya que, por ejemplo, un
empleado que causa más daño que beneficio a su empresa merece un grado de pertenencia < 0, en comparación
con un empleado que produce beneficio para la empresa y tiene un grado de pertenencia > 0;
y al ExtraConjunto Neutrosófico (cuando algunos componentes Neutrosóficos están fuera del intervalo [0, 1],
es decir, algunos componentes Neutrosóficos > 1 y algunos componentes Neutrosóficos < 0).
De manera similar para la Sobre/Infra/Extra-Lógica y respectivamente la Sobre/Infra/Extra-Topología [16, 17,
18, 19].
Dado que estas ideas parecen contraintuitivas y totalmente diferentes del marco convencional, presentamos a
continuación ejemplos elementales de nuestro mundo real de tales grados que están fuera de lo común {nos
referimos fuera del intervalo [0, 1]}.
31. Ejemplo Real de SobreMembresía e InfraMembresía
En una empresa, un empleado a tiempo completo trabaja 40 horas por semana. Consideremos el último
periodo de la semana.
Helen trabajó a tiempo parcial, solo 30 horas, y las otras 10 horas estuvo ausente sin pago; por lo tanto,
su grado de membresía fue de 30/40 = 0.75 < 1.
John trabajó a tiempo completo, 40 horas, por lo que tuvo un grado de membresía de 40/40 = 1, con
respecto a esta empresa.
Pero George trabajó horas extras, 5 horas más, por lo que su grado de membresía fue (40+5)/40 = 45/40
= 1.125 > 1.
Por lo tanto, necesitamos hacer una distinción entre los empleados que trabajan horas extras y aquellos
que trabajan a tiempo completo o parcial. Es por eso que necesitamos asociar un grado de membresía
estrictamente mayor que 1 a los trabajadores que hacen horas extras.
Ahora, otro empleado, Jane, estuvo ausente sin pago durante toda la semana, por lo que su grado de
membresía fue de 0/40 = 0.
Sin embargo, Richard, quien también fue contratado a tiempo completo, no solo no vino a trabajar la
semana pasada en absoluto (0 horas trabajadas), sino que provocó, al iniciar accidentalmente un incendio
devastador, mucho daño a la empresa, lo que se estimó en un valor equivalente a la mitad de su salario (es
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12
decir, lo que habría ganado por trabajar 20 horas esa semana). Por lo tanto, su grado de membresía debe ser
menor que el de Jane (ya que Jane no causó ningún daño). Por lo tanto, el grado de membresía de Richard,
con respecto a esta empresa, fue de -20/40 = -0.50 < 0.
Consecuentemente, necesitamos hacer una distinción entre los empleados que causan daño y aquellos que
generan ganancias o no causan ni daño ni ganancias a la empresa.
Por lo tanto, los grados de membresía > 1 y < 0 son reales en nuestro mundo, por lo que debemos tenerlos
en cuenta.
Entonces, de manera similar, la Lógica/Medida/Probabilidad/Estadística Neutrosófica se extendieron
respectivamente a la Sobre/Infra/Extra-Lógica/Medida/Probabilidad/Estadística Neutrosófica (Smarandache,
2007).
32. Definición de SobreConjunto Neutrosófico de Valor Único
Sea
un SobreUniverso de Discurso {es decir, existen algunos elementos en
cuyos grados de
membresía son > 1}, y el SobreConjunto Neutrosófico
over over
AU
.
Sean T(x), I(x), F(x) las funciones que describen los grados de membresía, membresía indeterminada y no
membresía respectivamente, de un elemento genérico x
, con respecto al SobreConjunto Neutrosófico
:
dónde
01
, y
se llama SobreLímite,
, para todos los
.
Un SobreConjunto Neutrosófico de Valor Único
se define como:
= {(x, <T(x), I(x), F(x)>), x
U
over
},
tal que existen algunos elementos en
que tienen al menos un componente neutrosófico que
es > 1.
33. Definición de SobreTopología Neutrosófica de Valor Único
Sea
un SobreUniverso de Discurso, y P(
) el conjunto potencia de
.
Sea
una familia de SobreConjuntos Neutrosoficos de Valor Único de .
Entonces,
se llama SobreTopología Neutrosófica de Valor Único en
si satisface los
siguientes axiomas:
(i) y pertenecen a
.
(ii) La intersección de cualquier número finito de SobreConjuntos Neutrosóficos de Valor Único
en
está en
.
(iii) La unión de cualquier número finito o infinito de SobreConjuntos Neutrosóficos de Valor
Único en
está en
.
Entonces, (
,
)) se llama un Espacio SobreTopológico Neutrosófico.
34. Definición del InfraConjunto Neutrosófico de Valor Único
Sea
un InfraUniverso de Discurso {es decir, existen algunos elementos en
cuyos grados de
membresía son < 0}, y sea el InfraConjunto Neutrosófico
.
Sean T(x), I(x), F(x) las funciones que describen los grados de membresía, membresía indeterminada y no
membresía respectivamente, de un elemento genérico x
, con respecto al InfraConjunto Neutrosófico
:
donde Ψ < 0 < 1, y Ψ se llama InfraLímite,
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13
, para todo
.
Un InfraConjunto Neutrosófico de Valor Único
se define como:
= {(x, <T(x), I(x), F(x)>), x
U
under
},
tal que existen algunos elementos en
que tienen al menos un componente neutrosófico que es < 0.
35. Definición de InfraTopología Neutrosófica de Valor Único
Sea
un InfraUniverso de Discurso, y P(
) el conjunto potencia de
.
Sea
una familia de InfraConjuntos Neutrosóficos de Valor Único de
.
Entonces,
se llama una InfraTopología Neutrosófica de Valor Único en
si satisface los
siguientes axiomas:
i. ϕ y
pertenecen a
.
ii. La intersección de cualquier cantidad finita de InfraConjuntos Neutrosóficos de Valor
Único en
está en
.
iii. La unión de cualquier cantidad finita o infinita de InfraConjuntos neutrosóficos de valor
único en
está en
.
Entonces, (
,
) se llama un Espacio Neutrosófico InfraTopológico.
36. Definición de ExtraConjunto Neutrosófico de Valor Único
Sea
un ExtraUniverso de Discurso {es decir, existen elementos en
cuyos grados de pertenencia
están fuera del intervalo [0, 1], algunos < 0 y otros > 1}, y el ExtraConjunto Neutrosófico
.
Sean T(x), I(x), F(x) las funciones que describen los grados de pertenencia, de indeterminación y de no
pertenencia respectivamente, de un elemento genérico x
, con respecto al ExtraConjunto Neutrosófico
:
donde Ψ<0<1<Ω, y Ψ se llama InfraLímite, mientras que Ω se llama SobreLímite,
, para todo
.
Un ExtraConjunto Neutrosófico de Valor Único
se define como:
= {(x, <T(x), I(x), F(x)>), x U
off
},
tal que existen algunos elementos en
que tienen al menos un componente neutrosófico que es > 1, y al
menos un componente neutrosófico que es < 0.
37. Definición de ExtraTopología Neutrosófica de Valor Único
Sea
off
U
un ExtraUniverso del Discurso, y
()
off
PU
el conjunto potencia de
off
U
.
Sea
()
off off
PU
una familia de ExtraConjuntos Neutrosóficos de Valor Único de
off
U
.
Entonces
off
se llama ExtraTopología Neutrosófica de Valor Único en
off
U
si satisface los siguientes
axiomas:
i.
y
off
U
pertenecen a
off
.
ii. La intersección de cualquier número finito de ExtraConjuntos Neutrosóficos de Valor
Único en
off
está en
off
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de ExtraConjuntos Neutrosóficos de
Valor Único en
off
está en
off
.
Entonces (
off
U
,
off
) se llama Espacio Neutrosófico ExtraTopológico.
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14
38. Conjunto Triplete Neutrosófico Débil/Fuerte (N)
Sea (N, *) un grupo o conjunto no vacío dotado de una operación binaria bien definida *.
Un Triplete Neutrosófico es un objeto de la forma <x, neut(x), anti(x)>, para x
N,
donde neut(x)
N es el neutro de x, diferente del elemento unitario algebraico clásico, si lo hay, tal que:
x * neut(x) = neut(x) * x = x
y anti(x)
N es el opuesto de x tal que:
x * anti(x) = anti(x) * x = neutro(x).
En general, un elemento x puede tener más neutrales (neuts) y más opuestos (antis).
Los tripletes neutrosóficos y sus estructuras algebraicas de tripletes neutrosóficos fueron introducidos por
primera vez por Florentin Smarandache y Mumtaz Ali [20, 21, 22, 23] en 2014-2016.
39. Definición de Conjunto Débil del Triplete Neutrosófico (NTS, *) es un conjunto tal que cada elemento
a NTS
es parte de un triplete neutrosófico <b, neut(b), anti(b)>, es decir, a = b, or a = neut(b), or a = anti(b).
40. Definición de la Topología Débil de Triplete Neutrosófico de Valor Único
Sea
Triplet Weak
U
−
un Universo de Discurso que tiene la estructura de un Conjunto Débil de Triplete
Neutrosófico, y
()
Triplet Weak
PU
−
el conjunto de potencias de
Triplet Weak
U
−
.
Sea
()
Triplet Weak Triplet Weak
PU
−−
una familia de Conjuntos Débiles de Tripletes Neutrosóficos de
Valor Único
Triplet Weak
U
−
.
Entonces
Triplet Weak
−
se llama Topología Débil de Triplete Neutrosófico de Valor Único en
Triplet Weak
U
−
si satisface los siguientes axiomas:
i.
y
Triplet Weak
U
−
pertenecen a
Triplet Weak
−
.
ii. La intersección de cualquier número finito de Conjuntos Débiles de Tripletes
Neutrosóficos de Valor Único en
Triplet Weak
−
está en
Triplet Weak
−
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de Conjuntos Débiles de Tripletes
Neutrosóficos de Valor Único en
Triplet Weak
−
está en
Triplet Weak
−
.
Entonces (
Triplet Weak
U
−
,
Triplet Weak
−
) se llama Espacio Topológico Débil de Triplete Neutrosófico.
41. Definición del Conjunto Fuerte de Triplete Neutrosófico (o Conjunto de Tripletes Neutrosóficos)
El grupo (N, *) se llama Conjunto Fuerte Triplete Neutrosófico si para cualquier a
N existe algún neutro de
a, denotado neut(a)
N, diferente del elemento unitario algebraico clásico (si lo hay), y algún opuesto de a,
llamado anti(a)
N.
Ejemplo de Conjunto Fuerte de Triplete Neutrosófico
*
1
2
1
2
1
2
1
1
El conjunto ({1,2}, * ) es un grupoide, sin elemento unitario clásico.
Entonces <1, 2, 1> y <2, 1, 2> y son tripletes neutrosóficos.
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15
El conjunto fuerte del triplete neutrosófico es N = {1, 2}.
42. Teorema sobre los Conjuntos Fuerte y Débil de Triplete Neutrosófico
Cualquier conjunto fuerte de triplete neutrosófico es un conjunto débil de triplete neutrosófico, pero no a la
inversa.
Prueba.
Sea (N, *) un conjunto fuerte triplete neutrosófico. Si a
N, entonces también está incluido en N, por lo tanto,
existe un triplete neutrosófico en N que incluye a a, de donde N es un conjunto débil de triplete neutrosófico.
Por el contrario, lo demostramos utilizando un contraejemplo.
Sea Z
3
= {0, 1, 2}, incrustado con la multiplicación módulo 3, que es una ley bien definida. El elemento
unitario clásico en Z
3
es 1.
(Z
3
,
) es un conjunto débil de tripletes neutrosóficos, ya que los tripletes neutrosóficos se formaron en Z
3
con
respecto a la ley contiene todos los elementos 0, 1, 2,
es decir, <0, 0, 0>, <0, 0, 1> y <0, 0, 2>.
Pero (Z
3
,) no es un conjunto fuerte de triplete neutrosófico, ya que, por ejemplo, para 2
Z
3
no hay neut(2)
1 ni hay anti(2).
43. Definición de Topología Fuerte de Triplete Neutrosófico de Valor Único
Sea
Triplet Strong
U
−
un Universo de Discurso que tiene la estructura de un Conjunto Fuerte de Triplete
Neutrosófico, y
()
Triplet Strong
PU
−
el conjunto de potencias de
Triplet Strong
U
−
.
Sea
()
Triplet Strong Triplet Strong
PU
−−
una familia de Conjuntos Fuertes de Tripletes Neutrosóficos de
Valor Único
Triplet Strong
U
−
.
Entonces
Triplet Strong
−
se llama Topología Fuerte de Triplete Neutrosófico de Valor Único en
Triplet Strong
U
−
si satisface los siguientes axiomas:
i.
y
Triplet Strong
U
−
pertenecen a
Triplet Strong
−
.
ii. La intersección de cualquier número finito de Conjuntos Fuertes de Tripletes
Neutrosóficos de Valor Único en
Triplet Strong
−
está en
Triplet Strong
−
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de Conjuntos Fuertes de Tripletes
Neutrosóficos de Valor Único en
Triplet Strong
−
está en
Triplet Strong
−
.
Entonces (
Triplet Strong
U
−
,
Triplet Strong
−
) se llama Espacio Topológico Fuerte de Triplete Neutrosófico.
44. Triplete Neutrosófico Extendido
Un Triplete Neutrosófico Extendido es un triplete neutrosófico, definido como anteriormente, pero donde el
neutro de x {indicado por
e
neut(x) y llamado "neutro extendido", donde "e" al frente significa 'extendido'} puede
ser igual al elemento unitario algebraico clásico (si lo hay) de la ley * definido en el conjunto. Por lo tanto, se
libera la restricción "diferente del elemento unitario algebraico clásico, si lo hay".
De esta manera, un triplete neutrosófico extendido es un objeto de la forma <x,
e
neut(x),
e
anti(x)>, para xN,
donde
e
neut(x)N es el neutro extendido de x, que puede ser igual o diferente del elemento unitario algebraico
clásico, si lo hubiera, tal que:
X *
e
neut(x) =
e
neut(x) * x = x
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16
y anti(x)N es el opuesto extendido de x tal que:
x*
e
anti(x) =
e
anti(x) * x =
e
neut(x).
En general, para cada x N existen muchos
e
neuts (neutrales extendidos) y
e
antis (opuestos extendidos). Los
tripletes neutrosóficos extendidos fueron introducidos por Smarandache [27, 28] en 2016.
45. Definición de Conjunto Débil de Triplete Extendido Neutrosófico
El conjunto N se llama conjunto débil de triplete extendido neutrosófico si para cualquier xN existe un
triplete extendido neutrosófico <y,
e
neut(y),
e
anti(y)> incluido en N, tal que x = y o x =
e
neut(y) o x =
e
anti(y).
46. Definición de Topología Débil de Triplete Extendido Neutrosófico de Valor Único
Sea
Extended Triplet Weak
U
−−
un Universo de Discurso que tiene la estructura de un Conjunto Débil de
Triplete Extendido Neutrosófico, y
()
Extended Triplet Weak
PU
−−
el conjunto de potencias de
Extended Triplet Weak
U
−−
.
Sea
()
Extended Triplet Weak Extended Triplet Weak
PU
− − − −
una familia de Conjuntos Débiles de Tripletes
Neutrosóficos Extendidos de Valor Único
Extended Triplet Weak
U
−−
.
Entonces
Extended Triplet Weak
−−
se llama Topología Débil de Triplete Extendido Neutrosófico de Valor
Único en
Extended Triplet Weak
U
−−
si satisface los siguientes axiomas:
i.
y
Extended Triplet Weak
U
−−
pertenecen a
Extended Triplet Weak
−−
.
ii. La intersección de cualquier número finito de conjuntos débiles de tripletes
neutrosóficos extendidos de valor único en
Extended Triplet Weak
−−
está en
Extended Triplet Weak
−−
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de conjuntos débiles de tripletes
neutrosóficos extendidos de valor único en
Extended Triplet Weak
−−
es en
Extended Triplet Weak
−−
.
Entonces (
Extended Triplet Weak
U
−−
,
Extended Triplet Weak
−−
) se denomina espacio topológico débil de triplete
extendido neutrosófico.
47. Definición de Conjunto Fuerte de Triplete Extendido Neutrosófico
El conjunto N se llama conjunto fuerte triplete extendido neutrosófico si para cualquier x N existen
e
neut(x)
N y
e
anti(x) N.
48. Definición de Topología Fuerte de Triplete Extendido Neutrosófico de Valor Único
Sea
Extended Triplet Strong
U
−−
un Universo de Discurso que tiene la estructura de un Conjunto Fuerte de
Triplete Extendido Neutrosófico, y
()
Extended Triplet Strong
PU
−−
el conjunto de potencias de
Extended Triplet Strong
U
−−
.
Sea
()
Extended Triplet Strong Extended Triplet Strong
PU
− − − −
una familia de Conjuntos Fuertes de Tripletes
Neutrosóficos Extendidos de Valor Único
Extended Triplet Strong
U
−−
.
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17
Entonces
Extended Triplet Strong
−−
se llama Topología Fuerte de Triplete Neutrosófico Extendido de Valor
Único en
Extended Triplet Strong
U
−−
si satisface los siguientes axiomas:
i.
y
Extended Triplet Strong
U
−−
pertenecen a
Extended Triplet Strong
−−
.
ii. La intersección de cualquier número finito de conjuntos fuertes de tripletes
neutrosóficos extendidos de valor único en
Extended Triplet Strong
−−
está en
Extended Triplet Strong
−−
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de conjuntos fuertes de
tripletes neutrosóficos extendidos de valor único en
Extended Triplet Strong
−−
está
en
Extended Triplet Strong
−−
.
Entonces (
Extended Triplet Strong
U
−−
,
Extended Triplet Strong
−−
) se denomina Espacio Topológico Fuerte de
Triplete Extendido Neutrosófico.
49. Duplas neutrosóficas
Florentin Smarandache introdujo las duplas neutrosóficas y las estructuras algebraicas de duplas
neutrosóficas [24, 25, 26] en 2016.
Sea U un universo de discurso, y un conjunto D incluido en U, dotado de una ley # bien definida.
50. Definición de la Dupla Neutrosófica
Decimos que <a, neut(a)>, donde a, y su neutro neut(a) pertenecen a D, es una dupla neutrosófica si:
1) neut(a) es diferente del elemento unitario de D con respecto a la ley # (si la hay);
2) a # neut(a) = neut(a) # a = a;
3) no existe ningún anti(a) opuesto perteneciente a D para el cual
a # anti(a) = anti(a) # a = neut(a).
51. Ejemplo de Duplas Neutrosóficas
En (Z
8
, #), el conjunto de números enteros con respecto a la multiplicación regular módulo 8, uno tiene las
siguientes duplas neutrosóficas:
<2, 5>, <4, 3>, <4, 5>, <4, 7> y <6, 5>.
Prueba:
Sea Z
8
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, teniendo el elemento unitario 1 con respecto a la multiplicación # módulo 8.
2 # 5 = 5 # 2 = 10 = 2 (mod 8),
entonces neut(2) = 5 ≠ 1.
No hay anti(2) Z₈, porque:
2 # anti(2) = 5 (mod 8),
o 2y = 5 (mod 8) al denotar anti(2) = y, equivale a:
2y - 5 = M
8
{múltiplo de 8}, o 2y - 5 = 8k, donde k es un número entero, o
2(y - 4k) = 5, donde tanto y como k son números enteros, o:
número par = número impar, lo cual es imposible.
Por lo tanto, demostramos que <2, 5> es una dupla neutrosófica.
Lo mismo ocurre con <4, 5>, <4, 3>, <4, 7> y <6, 5>.
Un contraejemplo: <0, 0> no es una dupla neutrosófica, porque
es un triplete neutrosófico: <0, 0, 0>, donde existe un anti(0) = 0.
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Florentin Smarandache. Fundamentos de Topologías de Vanguardia (artículo de revisión parcial)
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52. Definición de Topología de Dupla Neutrosófica de Valor Único
Sea
Duplet
U
un Universo de Discurso que tiene la estructura de un Conjunto de Dupla Neutrosófica, y
()
Duplet
PU
el conjunto de potencias de
Duplet
U
.
Sea
()
Duplet Duplet
PU
una familia de Conjuntos de Dupla Neutrosóficas de Valor Único de
Duplet
U
.
Entonces
Duplet
se llama Topología de Dupla Neutrosófica de Valor Único en
Duplet
U
si satisface los
siguientes axiomas:
i.
y
Duplet
U
pertenecen a
Duplet
.
ii. La intersección de cualquier número finito de conjuntos de duplas
neutrosóficas de valor único en
Duplet
está en
Duplet
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de conjuntos de duplas
neutrosóficas de valor único en
Duplet
está en
Duplet
.
Entonces (
Duplet
U
,
Duplet
) se llama Espacio Topológico de Dupla Neutrosófica.
53. Definición de Dupla Neutrosófica Extendida
Sea U un universo de discurso, y un conjunto D incluido en U, dotado de una ley # bien definida. Decimos que
<a,
e
neut(a)>, donde a, y su neutro extendido
e
neut(a) pertenecen a D, tal que:
1)
e
neut(a) puede ser igual o diferente del elemento unitario de D con respecto a la ley # (si la hay);
2) a #
e
neut(a) =
e
neut(a) # a = a;
3) no existe un opuesto extendido
e
anti(a) perteneciente a D para el cual
a #
e
anti(a) =
e
anti(a) # a =
e
neut(a).
54. Definición de Topología de Dupla Extendida Neutrosófica de Valor Único
Sea
Extended Duplet
U
−
un Universo de Discurso que tiene la estructura de un Conjunto de Dupla Neutrosófica
Extendida, y
()
Extended Duplet
PU
−
el conjunto d potencias de
Extended Duplet
U
−
.
Sea
()
Extended Duplet Extended Duplet
PU
−−
una familia de conjuntos de duplas neutrosóficas de valor único
de
Extended Duplet
U
−
.
Entonces
Extended Duplet
−
se llama Topología de dupla neutrosófica de valor único en
Extended Duplet
U
−
si
satisface los siguientes axiomas:
i.
y
Extended Duplet
U
−
pertenecen a
Extended Duplet
−
.
ii. La intersección de cualquier número finito de conjuntos de duplas neutrosóficas extendidas
de valor único en
Extended Duplet
−
es en
Extended Duplet
−
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de conjuntos de duplas neutrosóficas
extendidas de valor único en
Extended Duplet
−
es en
Extended Duplet
−
.
Entonces (
Extended Duplet
U
−
,
Extended Duplet
−
) se denomina Espacio Topológico de Dupla Extendida
Neutrosófica.
55. Definición de MultiConjunto Neutrosófico
Florentin Smarandache presentó los MultiConjuntos Neutrosóficos y las Estructuras Algebraicas de
MultiConjuntos Neutrosóficos [23, 24, 26] en 2016.
un universo de discurso, y un conjunto
MU
.
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Un MultiConjunto Neutrosófico es un conjunto neutrosófico donde uno o más elementos se
repiten con los mismos componentes neutrosóficos, o con diferentes componentes neutrosóficos.
Es una extensión del multiconjunto clásico, multiconjunto difuso, multiconjunto difuso
intuicionista, etc.
56. Ejemplos de MultiConjuntos Neutrosóficos
= {(0,6, 0,3, 0,1),(0,8, 0,4, 0,2),(0,5, 0,1, 0,3) }
es un conjunto neutrosófico (no multiconjunto).
Pero = {(0,6, 0,3, 0,1),(0,6, 0,3, 0,1),(0,8, 0,4, 0,2) }
es un multiconjunto neutrosófico, ya que el elemento a se repite; decimos que el elemento a tiene la
multiplicidad neutrosófica 2 con los mismos componentes neutrosóficos.
Mientras = {(0,6, 0,3, 0,1),(0,7, 0,1, 0,2),(0,5, 0,4, 0,3),(0,5, 0,1, 0,3)}
también es un multiconjunto neutrosófico, porque el elemento a se repite (tiene la multiplicidad
neutrosófica 3), pero con diferentes componentes neutrosóficos, ya que, por ejemplo, durante el tiempo,
la pertenencia neutrosófica de un elemento puede cambiar.
Si el elemento se repite veces, manteniendo los mismos componentes neutrosóficos (,,),
decimos que a tiene multiplicidad .
Pero si hay algún cambio en los componentes neutrosóficos de a, decimos que a tiene la multiplicidad
neutrosófica .
Por tanto, definimos de forma general la Función de Multiplicidad Neutrosófica (nm):
:→ ℕ = {1, 2, 3,…, ∞},
y para cualquier se tiene
() = {(
1
,
1
,
1
,
1
), (
2
,
2
,
2
,
2
), …, (
,
,
,
), …}
Lo que significa que
a se repite
1
veces con los componentes neutrosóficos〈
1
,
1
,
1
〉;
a se repite
2
veces con los componentes neutrosóficos〈
2
,
2
,
2
〉,
...,
a se repite
veces con los componentes neutrosóficos〈,,〉,
...,
etcétera.
Entonces, un multiconjunto neutrosófico A se puede escribir como:
A = {(,()), para )}.
57. Ejemplos de operaciones con Multiconjuntos Neutrosóficos
Tengamos:
= {5〈0,6, 0,3, 0,2〉, 5〈0,6, 0,3, 0,2〉, 5〈0,4, 0,1, 0,3〉, 6〈0,2, 0,7, 0,0〉};
= {5〈0,6, 0,3, 0,2〉, 5〈0,8, 0,1, 0,1〉, 6〈0,9, 0,0, 0,0〉};
= {5〈0,6, 0,3, 0,2〉, 5〈0,6, 0,3, 0,2〉}.
Entonces:
Intersección de multiconjuntos neutrosóficos.
∩= {5〈0,6, 0,3, 0,2〉}.
Unión de multiconjuntos neutrosóficos
={5〈0,6, 0,3, 0,2〉, 5〈0,6, 0,3, 0,2〉, 5〈0,4, 0,1, 0,3〉, 5〈0,8, 0,1, 0,1〉, 6〈0,2, 0,7, 0,0〉,
6〈0,9, 0,0, 0,0〉}.
Inclusión de multiconjuntos neutrosóficos
, pero
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58. Definición de Topología Neutrosófica Multiconjunto de Valor Único
Sea
MultiSet
U
un Universo de Discurso que tiene la estructura de un MultiConjunto Neutrosófico, y
()
MultiSet
PU
el conjunto de potencias de
MultiSet
U
.
Sea
()
MultiSet MultiSet
PU
una familia de multiconjuntos neutrosóficos de valor único de
MultiSet
U
.
Entonces
MultiSet
se llama Topología Neutrosófica MultiConjunto de valor Único en
MultiSet
U
si
satisface los siguientes axiomas:
i.
y
MultiSet
U
pertenecen a
MultiSet
.
ii. La intersección de cualquier número finito de multiconjuntos neutrosóficos de
valor único en
MultiSet
está en
MultiSet
.
iii. La unión de cualquier número finito o infinito de multiconjuntos neutrosóficos
de valor único r en
MultiSet
está en
MultiSet
.
Entonces (
MultiSet
U
,
MultiSet
) se denomina Espacio Topológico Neutrosófico MultiConjunto.
Conclusión
Estas ocho nuevas topologías vanguardistas, junto con las seis nuevas topologías anteriores y sus
correspondientes espacios topológicos, fueron introducidas por Smarandache entre 2019 y 2023, pero aún no han
sido muy estudiadas ni aplicadas, excepto las NeutroTopologías y AntiTopologías, que han recibido cierta atención
por parte de los investigadores. Mientras tanto, la Topología Neutrosófica No Estándar, las Topologías de Triplete
Neutrosófico Débil/Fuerte, las Topologías Neutrosóficas Extendidas de Tripletes Débil/Fuerte, la Topología
Neutrosófica de Dupla, la Topología Neutrosófica Extendida de Dupla y la Topología Neutrosófica de
Multiconjuntos se proponen ahora por primera vez.
Como investigación futura, se estudiaría sus amplias aplicaciones en nuestro mundo real.
Referencias
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USA, 2015; http://fs.unm.edu/NeutrosophicCrispSetTheory.pdf
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http://fs.unm.edu/NidusIdearum7-ed3.pdf
Refined Neutrosophic Crisp Set (RNCS) – chapter: http://fs.unm.edu/RefinedNeutrosophicCrispSet.pdf
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[5] Florentin Smarandache, Structure, NeutroStructure, and AntiStructure in Science, International Journal
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[6] F. Smarandache, The SuperHyperFunction and the Neutrosophic
SuperHyperFunction, Neutrosophic Sets and Systems, Vol. 49, 2022, pp. 594-
600, http://fs.unm.edu/NSS/SuperHyperFunction37.pdf
Neutrosophic Computing and Machine Learning, Vol. 31, 2024
Florentin Smarandache. Fundamentos de Topologías de Vanguardia (artículo de revisión parcial)
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[7] F. Smarandache, New Types of Topologies and Neutrosophic Topologies, Neutrosophic Systems with
Applications, pp. 1-3, Vol. 1, 2023, http://fs.unm.edu/TT/NewTypesTopologies.pdf
[8] Tomasz Witczak, Interior and closure in anti-minimal and anti-biminimal spaces, Neutrosophic Sets and
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[13] Florentin Smarandache, A Unifying Field in Logics: Neutrosophic Logic. Neutrosophy, Neutrosophic
Set, Neutrosophic Probability and Statistics (sixth edition), Books on Demand, ProQuest Information &
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https://fs.unm.edu/eBook-Neutrosophics6.pdf (sixth edition online).
[14] Florentin Smarandache, About NonStandard Neutrosophic Logic (Answers to Imamura 'Note on the
Definition of Neutrosophic Logic'), pp. 1-16, Cornell University, New York City, USA, (Submitted on
24 Nov 2018 (v1), last revised 13 Feb 2019 (this version, v2))
Abstract: https://arxiv.org/abs/1812.02534v2,
Full paper: https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1812/1812.02534.pdf
[15] Florentin Smarandache, A Geometric Interpretation of the Neutrosophic Set – A Generalization of the
Intuitionistic Fuzzy Set, 2011 IEEE International Conference on Granular Computing, edited by TzungPei
Hong, Yasuo Kudo, Mineichi Kudo, Tsau-Young Lin, Been-Chian Chien, Shyue-Liang Wang, Masahiro
Inuiguchi, GuiLong Liu, IEEE Computer Society, National University of Kaohsiung, Taiwan, 602-606,
8-10 November 2011, http://fs.unm.edu/IFS-generalized.pdf
[16] Florentin Smarandache, Neutrosophic Overset, Neutrosophic Underset, and Neutrosophic Offset /
Similarly for Neutrosophic Over-/Under-/OffLogic, Probability, and Statistics, Pons Editions, Brussels,
Belgium, 170 pages book, 2016, https://fs.unm.edu/NeutrosophicOversetUndersetOffset.pdf
[17] F. Smarandache, Operators on Single-Valued Neutrosophic Oversets, Neutrosophic Undersets, and
Neutrosophic Offsets, Journal of Mathematics and Informatics, Vol. 5, 2016, pp. 63-67, 29 June 2016,
https://fs.unm.edu/SVNeutrosophicOverset-JMI.pdf
[18] F. Smarandache, Interval-Valued Neutrosophic Oversets, Neutrosophic Undersets, and Neutrosophic
Offsets, International Journal of Science and Engineering Investigations, Vol. 5, Issue 54, pp. 1-4, July
2016, https://fs.unm.edu/IV-Neutrosophic-Overset-Underset-Offset.pdf
[19] Florentin Smarandache, Degrees of Membership > 1 and < 0 of the Elements with Respect to a
Neutrosophic OffSet, Neutrosophic Sets and Systems, Vol. 12, pp. 3-8, 2016,
https://fs.unm.edu/NSS/DegreesOf-Over-Under-Off-Membership.pdf
[20] Florentin Smarandache and Mumtaz Ali, Neutrosophic Triplet Group, Neural Computing and
Applications, Springer, 1-7, 2016, https://link.springer.com/article/10.1007/s00521-016-2535-x; DOI:
10.1007/s00521-016-2535-x.
[21] F. Smarandache, M. Ali, Neutrosophic triplet as extension of matter plasma, unmatter plasma, and
antimatter plasma, 69th annual gaseous electronics conference, Bochum, Germany,
Veranstaltungszentrum & Audimax, Ruhr-Universitat, 10–14 Oct. 2016,
http://meetings.aps.org/Meeting/GEC16/Session/HT6.111
[22] Florentin Smarandache, Mumtaz Ali, The Neutrosophic Triplet Group and its Application to Physics,
presented by F. S. to Universidad Nacional de Quilmes, Department of Science and Technology, Bernal,
Buenos Aires, Argentina, 02 June 2014.
[23] F. Smarandache, Neutrosophic Perspectives: Triplets, Duplets, Multisets, Hybrid Operators, Modal
Logic, Hedge Algebras. And Applications. Pons Editions, Bruxelles, Belgium, second edition, 323 p.,
2017; http://fs.unm.edu/NeutrosophicPerspectives-ed2.pdf
[24] F. Smarandache, Neutrosophic Theory and Applications, Le Quy Don Technical University, Faculty of
Information technology, Hanoi, Vietnam, 17
th
May 2016.
[25] Florentin Smarandache, Neutrosophic Duplet Structures, Joint Fall 2017 Meeting of the Texas Section of
the APS, Texas Section of the AAPT, and Zone 13 of the Society of Physics Students, The University of
Texas at Dallas, Richardson, TX, USA, October 20-21,
2017, http://meetings.aps.org/Meeting/TSF17/Session/F1.32
[26] F. Smarandache, Neutrosphic Multiset Applied in Physical Processes, Actualization of the Internet of
Things, a FIAP Industrial Physics Conference, Monterey, California, Jan. 2017.
Neutrosophic Computing and Machine Learning, Vol. 31, 2024
Florentin Smarandache. Fundamentos de Topologías de Vanguardia (artículo de revisión parcial)
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[27] F. Smarandache, Neutrosophic Theory and Applications, Le Quy Don Technical University, Faculty of
Information technology, Hanoi, Vietnam, 17
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May 2016.
[28] F. Smarandache, M. Ali, Neutrosophic Triplet Ring and its Applications, (Log Number: NWS17-2017-
000062), 18th Annual Meeting of the APS Northwest Section, Pacific University, Forest Grove, OR,
USA, June 1-3, 2017, http://meetings.aps.org/Meeting/NWS17/Session/D1.2
[29] Mohammed A. Al Shumrani and Florentin Smarandache, Introduction to Non-Standard Neutrosophic
Topology, Symmetry 2019, 11, 0, pp. 1-14, https://fs.unm.edu/neut/IntroductionToNonStandard.pdf
Recibido: noviembre 14, 2023. Aceptado: diciembre 01, 2023
